Uma das perguntas mais comuns para quem estuda probabilidade ou é fã de jogos de azar: qual a probabilidade de sair o número X, pelo menos uma vez, ao jogarmos um dado n vezes?
Por conta daquela regrinha do “e” e do “ou” quando aprendemos probabilidade, muitas pessoas fazem confusão (inclusive já mencionei no post do link essa confusão). Pensemos no título desse post: qual a probabilidade de tirarmos o número 1, em ao menos uma das jogadas, ao jogarmos um dado duas vezes?
É comum alguns estudantes responderem 2/6 (= 1/3), pois a probabilidade de tirar 1 na primeira jogada é 1/6 e a probabilidade de tirar 1 na segunda jogada também é 1/6. Então, como queremos obter o número 1 na primeira ou na segunda jogada, basta somar essas duas probabilidades. Veja que partindo dessa lógica, a probabilidade de tirarmos 1 ao jogarmos um dado 6 vezes é 1/6+1/6+…+1/6 = 1, ou seja, 100%! Ao jogarmos o dado 6 vezes com certeza obteremos o número 1 em ao menos uma das jogadas. Faz sentido?
Não, não faz. Podemos tirar {2,2,2,2,2,2}, {2,2,2,2,2,3}, {2,2,2,2,2,4}, etc.
Antes de mais nada, note que ao jogarmos o dado duas vezes, nosso espaço amostral se altera. Agora, não temos apenas 6 resultados possíveis e sim 36. Já é mais um indício de que algo diferente tem que ser feito. Essas coisas mais intuitivas são excelentes para evitar erros.
Indo ao que interessa, o que faz toda a diferença nesse tipo de problema é o fato de que os eventos não são mutuamente exclusivos. Ou seja, eles podem ocorrer ao mesmo tempo.
Olhe com atenção, se você quiser saber a probabilidade de, ao lançar um dado, obter o número 1 ou o número 4, você não tem a possibilidade de obter os dois, então, a resposta será: 1/6 + 1/6 = 2/6= 1/3!
Entretanto, se você quiser saber a probabilidade de ocorrer 1 ao lançar dois dados, deve se atentar ao fato de que os eventos não são mutuamente exclusivos, então você precisa subtrair a probabilidade de ocorrer 1 nos dois lançamentos, a fórmula a ser utilizada é:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Ou seja, a resolução do problema do título desse post é:
1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
Outra forma de pensar, seria nos eventos complementares. A mesma resposta é obtida quando obtemos a probabilidade de não se tirar 1 em nenhum dos dois lançamentos e subtraímos de 1 (ou 100%):
1 – (5/6 * 5/6) = 1 – 25/36 = 11/36
Não confunda: Probabilidade de sair o número 1 nos dois lançamentos do dado é 1/36. A probabilidade de sair pelo menos um número 1 no lançamento de dois dados é 11/36.
Agora você está preparado para os jogos de azar com dados! #partiuVegas!
E aí? Gostou do conteúdo? Se inscreva para receber todas as novidades. Deixe seu e-mail em INSCREVA-SE na barra à direita, logo abaixo de pesquisar. E, por favor, não deixe de comentar, dar seu feedback e, principalmente, compartilhar com seus amigos. De verdade, isso faz toda a diferença. Além disso, você também pode acompanhar mais do meu trabalho seguindo a conta de Twitter @UniDosDados ou por alguma das redes que você encontra em Sobre o Estatsite / Contato, como meu canal de Youtube Canal Universidade dos Dados. E se você gosta de tecnologia, escute o podcast Futuristando!
Bons estudos!
Que dizer então que se eu quiser saber a probabilidade de ao menos um 1 em 10 lançamentos eu terei:
(1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6)-(1/6^10) ?
Olá Luis, é isso mesmo!
Republicou isso em Ronnison's Blog.
Então para um dado de 20 lados, sendo que eu preciso de pelo menos um 18, 19 ou 20, ficaria como?
Minha conclusão:
3/20 + 3/20 + 3/20 = 9/20
20^3 = 8000
9/20 – 3/8000 = 0,449625
No caso são 4 dados, e eu fiz imaginando 3, então troca os 3 por 4 e o 9 por 12 kkkkkkkkk
Fala Pedro! Não entendi, são quantos lançamentos? 4 lançamentos de um dado de 20 lados e que você precisa tirar os números 18, 19 e 20 ao menos uma vez? Nesse caso eu acho que seria mais interessante você calcular as formas que poderia cair 18, 19 e 20 e dividir pelo espaço amostral dos 3 lançamentos, se eu não errei a conta aqui, ficaria: 27/(20^3)
Eu tenho três recipientes sendo um vazio e dois cheios. Se aleatoriamente eu pegar dois recipientes distintos, qual a probabilidade de vir pelo menos um recipiente cheio? Como fazer?
Olá!
O enunciado completo é este mesmo? Porque se é esse mesmo, então é 100%. Você vai pegar dois recipientes, não tem como pegar dois recipientes vazios, pois temos somente um vazio. Logo, é certo de que ao menos 1 estará cheio.
A não ser que ele esteja retirando com reposição. Isto é, ele retira um, repõe e depois retira outro. Neste caso, a chance dele pegar pelo menos um cheio, seria 1 menos a probabilidade dele não pegar nenhum cheio. A probabilidade de não pegar nenhum cheio na primeira é 1/3 e na segunda também. Então, seria 1-(1/3 * 1/3) = 0,8889. Ou, 88,89%
Abs
Tenho um dado de 20 lados, qual a probabilidade de um valor de repetir ao jogar este mesmo dado 6 vezes?
Fala Lucas,
Só para ter certeza, a questão quer saber a chance de obter pelo menos uma repetição?
Se for assim, eu acho que o caminho mais fácil é ir pelo complementar disso, se a gente conseguir responder: qual a chance de não se repetir nenhum número, a nossa resposta é 1 menos essa chance.
Então, qual a chance de não se obter nenhuma repetição em 6 lançamentos de um dado de 20 faces?
É 20/20 * 19/20 * 18/20 * 17/20 * 16/20 * 15/20.
Então a probabilidade de se obter pelo menos uma repetição é 1-(20*19*18*17*16*15)/20
Veja se bate com a resposta e qualquer problema me avise.
Abraços
Uma dúvida, esse exercício você viu em alguma prova de alguma matéria específica? Ensino superior?
resumindo, qual a probabilidade de se tirar 1?
A probabilidade de tirar 1 nos dois lançamentos é 1/36. A probabilidade de se obter pelo menos um número 1 em dois lançamentos, aí é 11/36.
Boa tarde Yukio, tudo certo? Eu tenho uma dúvida e acho que ainda não encontrei a resposta. O problema é o seguinte: Eu rolo um dado de 6 faces e, caso o resultado seja 6, rolo mais uma vez. Qual a chance de eu rolar esse 6 duas vezes consecutivas (e se puder explicar a fórmula também, agradeço). Essa questão está me confundindo bastante, por parecer muito uma pegadinha. Poderia me ajudar por favor? Abraços!
Olá, Gabriel!
Desculpe a demora. Olha, eu não encontrei a pegadinha. Como são dois eventos independentes, para mim a resposta é 1/6 * 1/6 = 1/36.
Você tem o gabarito?
Abs
A fórmula geral, assumindo um dado com 6 lados e que eu quero apenas 1 número dentre os 6 possíveis, invertendo o objetivo (quero saber o número de tentativas pra atingir determinada probabilidade) torna-se:
(N/¨6) – (1/6)^(N) > P
Onde N é o número de tentativas e P é a probabilidade que eu quero ultrapassar.
Resolvendo pra P = 0.9, se obtém 5.4… ou seja, preciso jogar 6 vezes pra ter 90% de chances de acertar num número desejado qualquer. Alguém saberia resolver isso em um limite? Digo, com P -> 1 (ou seja, tendendo a acertar o número com certeza)
Fala Henrique, cara… preciso dar uma pensada rs, já to dando um retorno pra vc saber que eu vi. Mas preciso dar uma pensada nisso. Abs
Basta usar distribuição binomial negativa
Fiz as contas para, rolando um dado de 20 lados duas vezes, eu preciso ter um resultado igual a 8 ou maior pelo menos uma vez, fiz da seguinte forma:
13/20+13/20-13*13/20*20
0,65+0,65-0,4225
1,3-0,4225
0,8775.
Está correto?
Fala, Guilherme!
O jeito de você não ter o resultado que deseja é se os dois dados resultarem em números menores que 8. Pelas minhas contas, o resultado seria: 1-(7*7/20*20)=51/400=12.75. Qual foi seu raciocínio para chegar em 0,8775?
Abs
Por que tem que subtrair a probabilidade de tirar o 1 nas duas jogadas? O enunciado diz tirar o número1, se tirar duas vezes, não conta como número 1?
Também fiquei com essa dúvida…
Num lançamento de 4 dados qual a probabilidade de sair o número 1 em todas as faces?