Dando continuidade aos posts sobre variáveis aleatórias (se você ainda não leu os demais, vá em Variáveis: Definição e Classificação e Variáveis Aleatórias Discretas), vamos falar agora das variáveis aleatórias contínuas. Vamos entender a definição destas variáveis, entender suas funções e como calcular o valor médio e a variância.
Como o próprio nome diz, variável aleatória é uma variável cujo valor depende de fatores aleatórios. Quando lidamos com variáveis como salário, altura e tempo, a variável está contida num intervalo de números reais. A variável cujos possíveis valores pertencem a um intervalo de números reais é chamada de variável aleatória contínua. Posto de maneira formal, uma função X que assume valores num intervalo de números reais e definida pelo espaço amostral Ω, é chamada de variável aleatória contínua. Vamos ao exemplo:
Exemplo: Em uma determinada região, a temperatura pode variar de 4 a 14 graus ao longo da tarde. Se você fosse tirar medidas às 15h, qual será que seria a probabilidade de sua medição ter como resultado 10 graus?
Diferente das variáveis discretas, aqui o que precisa ser notado é que temos que trabalhar com intervalos de números reais. Se olharmos somente para um ponto num universo tão grande, as chances são irrisórias. Pense na pergunta feita. Queremos saber a chance de obter a marcação de 10 graus. Isto é, estamos falando de um ponto num universo de infinitos pontos. Afinal, a pergunta se referiu à 10 graus, não 10,000001 graus e nem 9,999999 graus, também não queremos nem de 10,1, nem de 9,9, Ou seja, se você obtivesse no registro, temperaturas como 9,9, 9,99, 9,999, 9,9999, 10,1, 10,11, 10,111, …, você não estaria registrando a temperatura da questão. Por isso, a resposta para a pergunta é zero. Afinal, estamos escolhendo 1 ponto dentro de um universo infinito de pontos.
Mas como assim zero? Como estamos trabalhando com números reais, temos infinitos pontos. A chance de obter 1 ponto num universo de infinitos pontos é tão baixa, mas tão baixa, que tende a zero. Imagine que você tenha uma urna com uma bola vermelha e outras 99 bolas amarelas. Qual a chance de tirar uma bola vermelha? Seria 1/100=0,01. Agora, se você tivesse 99999999999 bolas amarelas, a chance seria 1/100000000000=0,00000000001. Aumentando isto infinitamente, teríamos zero.
Isto tudo para dizer que quando falamos de variáveis aleatórias contínuas, vamos sempre falar de intervalos e não um ponto específico. Vamos supor que a gente tenha uma probabilidade igual entre cada intervalo de 1 grau, isto é, a probabilidade de se obter um registro entre 5 e 6 graus é a mesma que estar entre 6 e 7 graus e assim por diante. Podemos então representar esta probabilidade graficamente, pelo gráfico abaixo:
Neste gráfico, f(x) é a função de probabilidade e x a temperatura. Sendo assim, a área sob a curva representa a probabilidade da temperatura cair no intervalo representado. Por exemplo, como temos 100% de certeza de que a temperatura estará no intervalo de 4 a 14 graus, então a área sob o gráfico deste intervalo será 1 (basta ver que 1/8 * 8 = 1. E se você quiser saber qual a probabilidade da temperatura estar no intervalo de 25 a 27 graus? Basta calcular a área, que será 1/8*2 = 1/4. Podemos ainda escrever a função desenhada acima:
Para o caso acima, temos que, dado um número a e b inteiros, P(a < x < b) = (b-a)/8. Porém, imagine que tivéssemos um gráfico um pouco mais complicado, como o mostrado abaixo:
A função desenhada acima, é o que chamamos de função densidade de probabilidade. Ela descreve a probabilidade da nossa variável aleatória tomar um determinado valor. Como já vimos no primeiro exemplo, para calcularmos a probabilidade de uma variável contínua tomar determinado valor, precisamos calcular a área sob a curva. Ou seja, a probabilidade será dada pela integral da função no intervalo desejado.
Seja x uma variável aleatória contínua, a função densidade de probabilidade f(x) é uma função tal que:
Estas propriedades mostram três coisas que já vimos até aqui: (a) uma função de probabilidade nunca vai tomar um número negativo, afinal, não existe -10% de chances de ocorrer um resultado; (b) a soma total da área sob a curva deve ser 1, pois a soma das probabilidades de todas ocorrências possíveis deve ser 1 (~100%), e; (c) a probabilidade de um evento ocorrer em um determinado intervalo é a integral da função neste intervalo. Vamos verificar a utilidade destas propriedades em um exercício.
Exemplo (Bussab e Morettin): Uma variável aleatória x tem sua distribuição dada pela função:
a) Qual valor deve ter a constante C?
b) Faça o gráfico de f(x)
c) Determine P(X≤1/2), P(X<1/2), e P(1/4≤X≤3/4)
Resolução:
a) Sabendo que a integral da área sob a curva determinada pela função de probabilidade é igual a 1, temos:
b) f(x) é determinada no enunciado e C foi determinado no item anterior, então, basta desenhar a curva:
c)
(i)
(ii)
Veja que só acrescentamos o ponto onde x = 1/2, como já foi dito, a probabilidade neste ponto é zero. Logo, o resultado é o mesmo que o item (i)
(iii)
Agora, vamos definir o valor médio e a esperança para variáveis contínuas.
Para o cálculo do valor médio, usamos o mesmo conceito usado para variáveis contínuas agrupadas por classes, onde utilizávamos o ponto médio do intervalo. Sendo assim, temos:
Onde h é a distância do intervalo [a, b].
Note que quanto mais próximo h é de zero, melhor fica a aproximação.
Sendo assim, tomando o conceito de média para variáveis aleatórias discretas e aproximando para todos os intervalos [a, b] existentes, temos:
Quando n tender a infinito, isto é, considerando todos os intervalos possíveis:
De forma semelhante, teremos a variância como sendo:
Utilizando o mesmo exemplo utilizado para testar nossos conhecimentos de função densidade de probabilidade, vamos agora calcular a média e a variância do problema:
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