No passado, foi introduzido o conceito de variáveis no post Variáveis: Definição e Classificação. Agora, vamos introduzir o conceito de variável aleatória e derivados, como função de probabilidade, função de distribuição, além da forma de se calcular a média e a variância para estas variáveis.
Como o próprio nome diz, variável aleatória é uma variável cujo valor depende de fatores aleatórios. No lançamento de um dado, não sabemos ao certo qual face vai estar virada para cima, por isso é uma variável aleatória. Quando esta variável toma valores que podem ser enumerados, a nomeamos variável aleatória discreta. Agora, vamos entender alguns conceitos referentes à estas variáveis utilizando um exemplo prático:
Exemplo: Você está participando de um jogo, onde há uma urna contendo 10 bolas: 3 vermelhas, 5 amarelas e 2 brancas. Você deve retirar uma bola ao acaso e, a depender da cor, ganhará um prêmio. Caso você tire uma bola vermelha, você ganha 100 reais. Caso tire uma amarela ou branca, não ganha nada. Com cálculos simples de probabilidade, montamos a tabela abaixo:
Note que se formos trabalhar com a variável x chamada “prêmio recebido”, o cálculo da frequência vai depender justamente das probabilidades. Além disso, precisaremos criar um modelo para prever o que provavelmente veremos acontecer. Aqui, nós teremos uma distribuição teórica que deve ser muito próxima das frequências reais.
Com base nas informações acima, sabemos que há 30% de chance de se ganhar 100 reais e 70% de chance de não ganhar nada. Utilizando as notações de probabilidade, sendo x a variável “prêmio recebido”, temos:
P(x=100) = 0,3
P(x=0) = 0,7
Adicionando a variável x à nossa primeira tabela, temos:
Com isso, podemos escrever uma função (x, p(x)) que descreve o modelo criado:
Isto quer dizer que há 30% de chances de você ganhar 100 reais e 70% de chances de ganhar 0 reais (soma da probabilidade de se retirar amarela com a probabilidade de tirar branca). A função (x, p(x)) é o que chamamos de função de probabilidade.
Para os que sentem a necessidade de uma definição mais formal, por questão de formatação, tive que fazê-la no word:
Agora, como calculamos o valor médio e a variância desta variável, já que estamos lidando com aleatoriedade?
No caso de uma variável aleatória, precisamos envolver o conceito de probabilidade, mais especificamente, esperança. A esperança, ou valor esperado, nada mais é do que a probabilidade de sair determinada ocorrência, multiplicada pelo valor desta saída. Em outras palavras, é o valor que você espera encontrar no evento. No nosso exemplo, a esperança é o prêmio que esperamos receber no jogo:
E(prêmio de 100 reais) = 0,3*100+0,7*0 = 30+0 = 30
Isto é, espera-se que você ganhe 30 reais. Claro, como você só pode receber 0 ou 100 reais, você não terá este premio que é um valor inexistente no jogo. A interpretação aqui seria que se repetíssemos este evento por várias vezes e dividíssemos o prêmio pelo número de lançamentos, teríamos 30 reais por cada lançamento.
Novamente, colocando de maneira mais formal:
Seguindo o mesmo racional, temos a variância:
Vamos testar os conhecimentos com dois exercícios:
Exercício: Você é dono de uma fábrica de televisores. O preço de fabricação de cada televisor é 200 reais. Caso o televisor seja enviado sem defeito, você recebe 400 reais do cliente. Caso tenha um defeito leve, você gasta 100 reais para consertá-lo e envia para o cliente em seguida. Caso tenha um defeito grave, você gasta 200 reais para consertá-lo. X é a variável aleatória que denota o seu lucro e a probabilidade do televisor ter um defeito está descrita na tabela abaixo.
Qual o lucro esperado? E a variância?
Resposta: Primeiro, vamos criar uma tabela que inclua o lucro de cada evento:
Agora, basta aplicar a fórmula da esperança:
E(X) = 400*0,75+300*0,2+0*0,05 = 300+60+0 = 360
O lucro esperado por televisor é 360 reais.
Para a variância, temos:
Var(X) = [(400-360)^2]*0,75+[(300-360]^2)*0,2+[(0-360)^2]*0,05 = 8400
Poderíamos até calcular o desvio padrão, que nada mais é que a raiz quadrada da variância:
DP(X) = 91,65
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