Correlação igual a zero implica independência?

Já analisamos diversas vezes a correlação de Pearson, como nos posts Correlação vs. Casualidade, Correlação vs. Causalidade – Parte 2 e Correlação: Não implica causalidade, mas tem seu valor. Na maioria das vezes analisamos como podemos nos enganar ao observarmos uma alta correlação. Não vimos porém, como algumas vezes nos enganamos ao analisarmos baixas correlações. Mais especificamente, tente responder a uma pergunta antes de prosseguir com o post: é possível as variáveis terem alguma relação se a correlação entre elas é igual a zero?

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